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数学也有黑洞?—神奇的黑洞数

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zxw88 发表于 2022-9-3 10:15:02 | 显示全部楼层 |阅读模式 打印 上一主题 下一主题
 
你们知道什么叫做“黑洞”(black hole)吗?


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从物理学的观点来解释:黑洞其实是个星球,只是它的物质密度极大,引力极强,任何物质经过它的附近,都要被它吸引进去,再也不能出来,包括光线也是这样,因此射进去的光没有反射回来,我们的眼睛就看不到任何东西,只是黑色一片,于是它是一个不发光的天体,黑洞的名称由此而来。


101503z9i9xeuo3n1w1gbo.jpg 斯蒂芬·威廉·霍金


由于不发光,人们无法通过肉眼或观测仪器发觉它的存在,而只能通过理论计算或根据光线经过其附近时产生的弯曲现象而判断其存在。自从黑洞理论提出以来,着名的物理学家爱因斯坦和霍金都肯定了黑洞的存在,绝大多数科学家也都长年致力于寻找黑洞确切存在的证据来完善黑洞理论。被世人誉为“在世的最伟大的科学家”、“另一个爱因斯坦”的着名物理学家霍金更是将其毕生精力都投入到对于黑洞的研究之中,对物理学史上有关黑洞的研究做出了巨大的贡献,但是由于黑洞本身的研究的复杂性,牵扯到很多有关动力学、热力学、以及量子力学的相关知识,所以进一步地认证黑洞仍是21世纪的科学难题之一。
有趣的是,天体物理中的黑洞现象在数学中也存在,并被叫做“数学黑洞”。所谓数学黑洞是这样一类数,其他任意的数如果经过某种变换变成这个数以后,再按同样的规律去变,始终就是这个数,再也跳不出去了。
我们今天就一起来研究一下这样的一类有趣的数——黑洞数。


1. 四位数的黑洞数
随意写出一个四位数,它的各个数位上的数字不都相等(1111,2222,3333等四位数应排除),用这个四位数各个数位上的数字组成一个最大数和一个最小数,并用最大数减去最小数,得到一个新的四位数(如果差等于0999,视0999为四位数)。对于新得到的四位数,一直重复上面的运算,最后你发现了什么?
我们以四位数4194为例,重复题设中的运算步骤,可得一系列算式:


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并把这个变换过程简记为:4194→7992→7173→6354→3087→8352→6174→6174→6174→6174。
对于4194这个随意取的四位数,不断重复题设的运算,前6次((1)~(6))所得的“差”在改变,而后3次((7)~(9))的“差”却不变,停在6174这个数上,并且从后3次的算式来看,你再重复题设的运算,6174这个差数永远不变,就好像一旦掉进6174这个“黑洞”里就再也出不来了,所以有人称6174这个数为四位数的“黑洞数”。由于题设的“运算”是两百多年前,美国数学家卡布列克提出的,因此也有人把我们上面进行的这种运算方式称为“卡式运算”,把6174称为四位数的“卡布列克常数”。这就意味着,如果你再随意写一个四位数,经过卡布列克运算后,还是要掉进6174这个“黑洞”,永不翻身!
于是得到如下的一个猜想:在卡氏运算下,四位数有黑洞数,并且它等于6174。


2. 三位数的黑洞数
我们已经发现6174是四位数的黑洞数,那么大家可以对应地思考一下:三位数有黑洞数吗?
随意写出一个三位数,它的各个数位上的数字不都相等(111,222,333等三位数应排除),用这个三位数各个数位上的数字组成一个最大数和一个最小数,并用最大数减去最小数,得到一个新的三位数(如果差等于099,视099为三位数)。对于新得到的三位数,一直重复上面的运算,最后你发现了什么?
猜想:在卡氏运算下,三位数有黑洞数,并且它等于495。
那么,应该怎样证实“三位数有黑洞数495”这个猜想?
证明过程:要证明这个猜想的成立,对所有三位数逐个进行检验不就得了?可是这项工作工作量太大,因为三位数太多了。对卡氏运算来说,检验了一个三位数(如571),就相当于检验了6个三位数(如571,517,715,751,175,157),这是因为这6个数的组成数字是一样的,只不过排列顺序不同。这就是卡布列克运算的基本性质。依据此性质,工作量变为原工作量的 。
接下来还可以大大地简化这 的工作量,这就要依靠大家在初一的时候所学习过的一种代数思想方法——“字母表示数”来帮忙。
设a,b,c是组成一个任意三位数的数字,并设a≥b≥c (a=b=c除外),对此三位数进行一次卡氏运算


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(*)式说明,对任何一个三位数 ,进行一次卡氏运算后,所得差是一个三位数(x=0时也视为三位数),它的十位数字等于9,百位与个位的数字和等于9。
这样一来,检验工作又大大地简化了——只要检验以下5个三位数:594,693,792,891,990。
由于990→891→792→693→594→495→495,所以上述5个待验的三位数同时得到检验。
这是一个巧妙的证明——本应对所有三位数进行检验,现在只要检验990这一个三位数就行了。
于是轻松证明了刚才的猜想:在卡氏运算下,三位数有黑洞数,并且它等于495。


3. 两位数的黑洞数
我们已经知道三位数有黑洞数495,四位数有黑洞数6174,那么两位数有没有黑洞数?
随意写出一个两位数,它的各个数位上的数字不都相等(11,22,33等两位数应排除),用这个两位数各个数位上的数字组成一个最大数和一个最小数,并用最大数减去最小数,得到一个新的两位数(如果差等于09,视09为两位数)。对于新得到的两位数,一直重复上面的运算,最后你发现了什么?
随意取86,21,91分别进行卡式运算,得:


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由此产生猜想:
(i)在卡氏运算下,两位数变换为位数和等于9的两位数;
(ii)在卡氏运算下,两位数进入一个周期为5的循环链;
如何用上面证明三位数的黑洞数的方法进行类似证明呢?
(i)设a与b是组成一个两位数的数字,并设“a>b,对此两位数进行一次卡氏运算:


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由b<a,得


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∴x+y=9。
(ii)结论(i)说明,在卡氏运算下,任何一个两位数变换为下列5个两位数中的一个81,63,27,45,09
再注意到卡氏运算基本性质(卡氏运算差与多位数的数字顺序无关),猜想(ii)得证。
以上说明两位数没有黑洞数,但它们都进入一个循环链,“永远”不得离开这个循环链。
五位数和六位数的黑洞数也可以像上面一样进行类似讨论,但是它的情况就会更加复杂,需要分集中具体情况进行讨论。


4. 其他形式的黑洞数
数学上的黑洞数其实也和自然上的黑洞一样,存在着很多种不同的类型和形式,数学界对于黑洞数的研究也仍在不断的更新和继续当中。以上我们讨论的其实只是其中最常见的一种,是运用最大数和最小数做差的方式来得到黑洞数,其实还有其它的几种简单的黑洞数已经在近几年的中考试题当中有所体现,我们来看以下的两个例子:
(2004年浙江省嘉兴市中考题)
有种数字游戏,可以产生“黑洞数”,操作步骤如下:第一步,任意写出一个自然数(以下称为原数);第二步,再写一个新的三位数,它的百位数字是原数中偶数数字的个数,十位数字是原数中奇数数字的个数,个位数字是原数的位数;以下每一步,都对上一步得到的数,按照第二步的规则继续操作,直至这个数不再变化为止。
不管你开始写的是一个什么数,几步之后变成自然数总是相同的。最后这个相同的数就叫它为黑洞数。请你以2004为例尝试一下(可自选另一自然数作检验,不必写出检验过程)2004,一步之后变为 404 ,再变为 303 ,再变为 123 ……黑洞数是 123 。
(2004年重庆市北碚区初中毕业生学业考试20题)
自然数中有许多奇妙而有趣的现象,很多秘密等待着我们去探索!比如:对任意一个自然数,先将其各位数字求和,再将其和乘3后加上1,多次重复这种操作运算,运算结果最终会得到一个固定不变的数R,它会掉入一个数字“陷阱”,永远也别想逃出来,没有一个自然数能逃出它的“魔掌”,那么最终掉入“陷阱”的这个固定不变的数R= 13 。
其实数学黑洞的内容是相当丰富的,历史上数学家们对于黑洞数的探索和研究也一直都没有停止过,如果大家有兴趣的话,可以利用课后的时间去搜索一些相关的资料,加入数学家们探索的队伍。


本文转载自微信公众号“趣味数学”

转自今日头条优质自媒体
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